VECTORES
En esta primera parte trabajaremos el tema de VECTORES, aprecen unos enlaces a youtube, alguna cibergrafia, y el documento bajado de www.monografias, que te complementrará lo estudiado en clase. Por favor estudialo y aprovecha este espacio y si tienes algun documento para aportar de este o de ortos te lo agradeceré.
ENLACES DE youtu.be:
CIBERGRAFIA:
https://www.jfinternational.com/mf/vectores-fisica.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)
www.monografia
Vectores
1. Definición de vectores
2. Magnitudes Escalares
3. Magnitudes vectoriales
4. Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos
5. Vectores unitarios y componentes de un vector
6. Suma y resta de vectores
7. Método Algebraico para la Suma de vectores
8. Producto de un vector por un escalar
9. Producto escalar de dos vectores
10. Módulo de un vector
12. Historia del Cálculo
13. Definición del cálculo vectorial
14. Biografías
15. Bibliografía
Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Magnitudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:
Masa
Temperatura
Presión
Densidad
Magnitudes vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Vector
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
- Un origen o punto de aplicación: A.
- Un extremo: B.
- Una dirección: la de la recta que lo contiene.
- Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
- Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
Vector libre
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos
a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k
Propiedades
Conmutativa: a+b=b+a
Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
Elemento Neutro: a+0=a
Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0
Vectores unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.
Suma de Vectores
La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.
Método Algebraico para la Suma de vectores
Dados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma 
es:
o bien
siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
Conmutativa
a + b = b + a
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
Producto de un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :
1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.
Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.
La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.
Ejemplo :
Propiedades
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:
r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz
Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
Propiedades
Conmutativa : r · v = v · r
Distributiva : r · ( v + u ) = r · v + r · u
Asociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar.
Además :
1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).
3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.
Ejemplo :
Proyección ortogonal (rv) de r sobre v
rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rv
Producto vectorial
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,
donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.
Propiedades:
Módulo de un vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
III. Ecuación De La Recta.
Ecuación de la Recta Que Pasa Por El Origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación 
con el eje x
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, 
ó y = mx (1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.
Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan 
) y b
Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida
..
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:
y = mx + b (1)
Como P1(x1, y1) 
l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y1 = mx1 + b (2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x